Проблемы аксиоматического исчисления высказываний

Всякая аксиоматическая теория, какой и является теория исчисления высказываний, для ее обоснования требует рассмотрения четырех проблем:

1) проблемы разрешимости;

2) проблемы непротиворечивости;

3) проблемы полноты;

4) проблемы независимости.

1. Проблема разрешимости исчисления высказываний.

Проблема разрешимости исчисления высказываний заключается в доказательстве существования алгоритма, который позволил бы для любой заданной формулы исчисления высказываний определить, является ли она доказуемой или не является.

Теорема. Проблема разрешимости для исчисления высказываний разрешима.

Доказательство. Любая формула исчисления высказываний может рассматриваться как формула алгебры высказываний, и, следовательно, можно рассматривать ее логические значения на различных наборах значений входящих в нее переменных.

Пусть A – любая формула исчисления высказываний, а x1, x2, … xn – перечень входящих в нее переменных.

Вычислим на всех наборах значений a1,a2,…,an, входящих в нее переменных. Если при этом на всех наборах a1,a2,…,an , то формула A – тождественно истинная, и, значит, по теореме о доказуемости тождественно истинной формулы она доказуема.

Если же существует набор значений переменных a1,a2,…,an такой, что , то формула A – не тождественно истинная, и, значит она не доказуема.

2. Проблема непротиворечивости исчисления высказываний.

Логическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не доказуемы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует такая формула A, что доказуема A и доказуема Ā.

Проблема непротиворечивости заключается в выяснении вопроса: является данное исчисление непротиворечивым или нет?

Если в исчислении обнаруживаются доказуемые формулы вида A и Ā, то такое исчисление называется противоречивым.

Если бы в исчислении высказываний некоторые формулы A и Ā оказались доказуемы, то в нем бы оказалась доказуемой любая формула B. Доказательство этого факта можно провести, пользуясь аксиомами исчисления высказываний.

Теорема. Исчисление высказываний непротиворечиво.

Доказательство. Докажем, что в исчислении высказываний нет такой формулы A, для которой доказуемы A и Ā.

Пусть A – любая формула исчисления высказываний. Если A доказуема, то по она тождественно истинна, и, значит, Ā – тождественно ложная формула, а поэтому не доказуема.



3. Рассмотрим проблему полноты исчисления высказываний.

Определение. Аксиоматическое исчисление называется полным в узком смысле, если добавление к списку его аксиом любой недоказуемой в исчислении формулы в качестве новой аксиомы приводит к противоречивому исчислению.

Определение. Исчисление высказываний называется полным в широком смысле, если любая тожественно истинная формула в нем доказуема.

Из этих определений следует, что проблема полноты исчисления высказываний должна решить два вопроса:

1) можно ли расширить систему аксиом аксиоматического исчисления путем добавления к ней в качестве новой аксиомы какой-нибудь недоказуемой в этом исчислении формулы?

2) является ли всякая тождественно истинная формула алгебры высказываний доказуемой в исчислении высказываний?

Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы.

Теорема. Исчисление высказываний полно в узком смысле.

Теорема. Исчисление высказываний полно в широком смысле.

4. Проблема независимости аксиом исчисления высказываний.

Для всякого аксиоматического исчисления возникает вопрос о независимости его аксиом. Вопрос этот ставится так: можно ли какую-нибудь аксиому вывести из остальных аксиом, применяя правила вывода данной системы?

Если для некоторой аксиомы системы это возможно, то эту аксиому можно исключить из списка аксиом системы, и логическое исчисление при этом не изменится, то есть класс доказуемых формул останется без изменения.

Определение. Аксиома А называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом.

Система аксиом исчисления называется независимой, если каждая аксиома системы независима.

Теорема. Система аксиом исчисления высказываний независима.



ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

Понятие предиката

В алгебре логики высказывания рассматриваются как нераздельные целые и только с точки зрения их истинности или ложности. Ни структура высказываний, ни, тем более, их содержание не затрагиваются. В то же время и в науке, и в практике используются заключения, существенным образом зависящие как от структуры, так и от содержания используемых в них высказываний.

Например, в рассуждении «Всякий ромб – параллелограмм; AВСD – ромб; следовательно, AВСD – параллелограмм» посылки и заключение являются элементарными высказываниями логики высказываний и с точки зрения этой логики рассматриваются как целые, неделимые, без учета их внутренней структуры. Следовательно, алгебра логики, будучи важной частью логики, оказывается недостаточной в анализе многих рассуждений.

В связи с этим возникает необходимость в расширении логики высказываний, в построении такой логической системы, средствами которой можно было бы исследовать и структуру тех высказываний, которые в рамках логики высказываний рассматриваются как элементарные.

Такой логической системой является логика предикатов, содержащая всю логику высказываний в качестве своей части.

Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат – это то, что утверждается о субъекте.

Например, в высказывании «7 – простое число», «7» – субъект, «простое число» – предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».

Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной x из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «x – простое число». При одних значениях x (например x = 13, x = 17) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях x (например x = 10, x = 18 ) эта форма дает ложные высказывания.

Ясно, что эта высказывательная форма определяет функцию одной переменной x, определенной на множестве N и принимающую значения из множества {1,0}.

Здесь предикат становится функцией субъекта и выражает свойство субъекта.

Определение. Одноместным предикатомР(х)называется произвольная функция переменной х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.

Множество M, на котором определен предикат P(x), называется областью определения предиката.

Множество всех элементов x Î M, при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката P(x), то есть множество истинности предиката Р(x) – это множество IP = {x: x Î M, Р(x) = 1}.

Так, предикат Р(x) – «x – простое число» определен на множестве N, а множество IР для него есть множество всех простых чисел. Предикат Q(x) – «sin x = 0» определен на множестве R, а его множество истинности IQ = {kp}. Предикат F(x) – «Диагонали параллелограмма x перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение. Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным (тождественно ложным), если IP = М (IP = Æ).

Естественным обобщением понятия одноместного предиката является понятие многоместного предиката, с помощью которого выражаются отношения между предметами.

Примером бинарного отношения (отношения между двумя предметами) является отношение «меньше». Пусть это отношение введено на множестве Z целых чисел. Оно может быть охарактеризовано высказывательной формой «x < у», где x,у Î Z, то есть является функцией двух переменных P(x, у), определенной на множестве Z ´ Z с множеством значений {1,0}.

Определение. Двухместным предикатом Р(х,у) называется функция двух переменных х и у, определенная на множестве М = М1 ´ М2 и принимающая значения из множества {1,0}.

В числе примеров двухместных предикатов можно назвать предикаты: Q(x,y) – «x = у» предикат равенства, определенный на множестве R2 = R ´ R; F(x,у) – « x//у » прямая x параллельна прямой у, определенный на множестве прямых, лежащих на данной плоскости.

Аналогично определяется n-местный предикат.


7405705361819928.html
7405738151466242.html
    PR.RU™